Liczenie Labirynty

Original: http://www.math.sunysb.edu/~tony/mazes/count.html

Obliczanie M (n), liczby prostych, na przemian labirynty tranzytowych głębokości n, działa przeciwko następującym problemem:
Nie jest znana formuła M (n) w odniesieniu do n.

M (n) wzrasta wykładniczo względem n.

Zasadniczo trzeba wygenerować wszystkie możliwe labirynty głębokości N i policzyć, ile ich jest. Ale ten czas przyjmuje wzrasta wykładniczo z n.Dziesięciokrotny wzrost w szybkości komputera pozwala na obliczenie jednego lub dwóch numerów.Postęp, jaki się ma pochodzić z eliminacji zbędnych czynności w pokolenie.

Najbardziej naiwne układ, naszkicowanych w poprzednim strony dla n <= 8, nie jest zbyt praktyczny dla większych wartości n: dotyczy patrząc w wielu par permutacji, który zwiększa, w przybliżeniu, ((n / 2)!) ^ 2. Do obliczenia K (20), na przykład, wymaga badania około 10 ^ (13) pary, co zajęłoby dużo czasu, nawet przy bardzo szybkim komputerem.

Okazuje się, że system opracowany do obliczeń związanych z problemem Stempel-składane (również, `map-składane ”) może zastąpić exponentials za silni, a tym samym w znacznym stopniu rozszerzyć zakres możliwych obliczeń.Obliczenie Stempel-składane zostało wykonane przez Johna E. Koehler, SJ w artykule opublikowanym w 1968 roku zauważył, że na pasie znaczków n, które mają plecy, który różni się od ich przodu i nie wyglądają tak samo, gdy gracz jest górą ziemię liczba różnych zagięć jest równa liczbie sposobów łączenia n punktów na kole w cięciw naprzemiennie czerwony i niebieski kolor bez żadnych cięciwy samego koloru przecinają. W rzeczywistości, jak zobaczymy bezpośrednio, M (n) dla n nawet można opisać w ten sam sposób, z dodatkowym warunkiem, i tak, że łańcuch akordów tworzy pojedynczy, zamknięty cykl, który wraca do punktu wyjścia po n krokach .

 

Każdy labirynt odpowiada ścieżce cięciwy naprzemiennie stałej i przerywane, tak, że żadne dwa akordy samego koloru przecinają się, i tak, aby cięciwy tworzą pojedynczy cykl przechodzącego przez każdy punkt. Ten rysunek przedstawia cztery konfiguracje 8-akordów, które mogą wystąpić (pozostałe pochodzą z obracania i odzwierciedlające te).
Argument Koehler, dostosowany do labiryntów, działa w ten sposób. Rozważmy n – poziom s.a.t. Labirynt w postaci prostokąta, a n punktów na obwodzie koła, opisanego kolejno 0,1,,,,, n-1. Dla każdego segmentu pionowego na prawej stronie skrzydła labiryntu zwrócić niebieską (stały) cięciwy, jak w przykładzie powyżej, pomiędzy punktami, których numery odpowiadają końców segmentu. Ponieważ labirynt ścieżka przechodzi każdego poziomu dokładnie jeden raz, każdy punkt będzie na jednym końcu niebieskiego cięciwy. (Ponieważ n jest parzyste, nie Segment po prawej idzie do poziomu n.) Zagnieżdżony warunek nakładania oznacza dokładnie, że dwa niebieskie akordy przetnie. Teraz robią to samo na lewej stronie labiryntu, ale z czerwonymi (przerywana) akordów oraz identyfikacji poziomu n na poziom 0 (brak lewej akord idzie do 0). Ponownie, każdy punkt jest na jednym końcu z czerwonym cięciwy i ma dwa przecięcia czerwone akordów. Teraz zaczynają się od 0 i przejść wzdłuż łańcucha akordów, pierwszy na niebieskim akord, a następnie na czerwoną, itp Punkty zostaną osiągnięte w dokładnie tej samej kolejności, w których poziomy są pokonywane przez labirynt ścieżki. Ponieważ labirynt ścieżka osiągnie poziomu n po n krokach, a nie wcześniej, akord-ścieżka będzie wrócić do 0 w dokładnie n krokach. Natomiast, biorąc pod uwagę konfigurację akord opisane kursywą powyżej interpretacji niebieskie akordy jak pionowych segmentów na prawej i czerwone akordy jak pionowych segmentów na lewo (interpretowania 0 N);bez gwarancji własności, że skrzyżowanie segmentów nakładających są zagnieżdżone; narysować labirynt.Nieruchomość pojedynczy cykl gwarantuje, że ścieżka przecina labirynt-wszystkie poziomy N.

Co sprawia, że ​​ta identyfikacja przydatna jest, że liczba sposobów rysowania akordów w jednym kolorze jest dostępny w formie zamkniętej. Biorąc pod uwagę, n = 2k punktów 0, …, n-1 na kole, powiedzmy, po Koehler, że n-wzorzec jest zestaw k nie przecinają akordów z tych n punktów w punktach końcowych.Liczba n wzorców następnie k-tego liczba Katalońsko kotów (k) = C (2k, k) / (k + 1). (Jest to udowodnione po prostu poprzez wykazanie, że w Motzkin że liczba n – wzorach spełnia tę samą zależność rekursji jako katalońskich numerach: Kat (k + 1) = \ sum_ {i = 0} ^ {k} Cat (i) Kot (ki), z kotów (0) = Cat (1) = 1.) teraz kataloński numery, nawet jeśli są one określone z silni, tylko gwałtownie rosnąć; w rzeczywistości Kot (k) ~ 4 ^ kk ^ (- 3/2) pi ^ (- 1/2) dla k duży, łatwy konsekwencją wzoru Stirlinga. Wynika stąd, że ponieważ każdy labirynt poziom N odpowiada parze n wzorców, liczba M (n) N-poziomowej labirynty (n nawet) wynosi <= (kotów (n / 2)) ^ (2), tak rośnie w większości w postępie geometrycznym.

Bardziej praktycznie, jest o wiele mniej par n wzorców niż par permutacji n / 2 elementów oraz identyfikacji Koehler pozostawiono ja do obliczania K (n) przez n = 22 dla n równe, sprawdzając wszystkie pary n wzorców dlawłasność jednego cyklu.Program śledził, jak wielu labirynty były ciekawe, a to pozwoliło na obliczenie M (n) i (n) dla n nieparzystego poprzez podwójne zastosowania wzoru

M (n) = I (n) 2I + (n-1) + 3I (n-2) + … + (n-3) i (4) +1
(każda (nk) -Level interesujący labirynt daje k + 1 różnych nie-ciekawe labirynty n poziomie; 1 liczy się zupełnie nie interesujący n-poziom labirynt 0 1 2 3 4 … n) pierwszy obliczyć I (2n -1) z M (2N) i (2n) (zakładając, że w indukcji dolnymi i nieparzyste są znane), a następnie obliczyć M (2n-1) z i (2n-1), a i jest mniejsza. Wyniki są następujące:

     n M (n) i (n)
                     1 1 0
                     2 1 0
                     3 1 0
                     4 2 1
                     5 3 0
                     6 8 4
                     7 14 1
                     8 42 22
                     9 81 11
                    10 262 142
                    11 538 95
                    12 1828 1014
                    13 3926 808
                    14 13820 7796
                    15 30694 6980
                    16 110954 63386
                    17 252939 61725
                    18 933458 538534
                    19 2172830 558853
                    20 8152860 4740658
                    21 19304190 5171300
                    22 73424650 42969130
Oczywiście czas obliczeń nadal rośnie wykładniczo z n. Dla n = 22 liczba par n-wzorców do badania był Kot (11) ^ (2) = 3455793796. To trwało jakieś 73 godzin na komputerze Sun-3.N = 24 obliczenie zajęłoby około 16 razy dłuższy, itp To prowadzi do dwóch problemów:
) wykrycie algorytm obliczania m (n) w szeregu etapów, które jest ograniczone przez pewien wielomianem n.

b) Znajdź “ asymptotycznej formułę “, która daje dobre przybliżenie do M (n) dla dużych n.

Dla b) podejście probabilistyczne może być przydatne: pod losową parę n-wzorców, i zapytać, jakie jest prawdopodobieństwo ich tworząc pojedynczy cykl. Ponieważ wiemy, zachowanie w dużej n (CAT (n)) ^ (2), wiedząc, że to prawdopodobieństwo dla dużych n dałoby asymptotycznej formułę M (2n).

Podziękowanie. Chciałbym podziękować John E. Koehler, SJ za pomocne korespondencji w tej sprawie.

Matematycy w Bell Labs rozszerzyły powyższe obliczenia przez bardziej bezpośrednie zastosowanie metody Koehler, w którym każdy etap trwa tylko 4 razy tak długo, jak ten przed. W ten sposób Jim Stroiki osiągnięte następujące numery:

     n M (n)
                    24 678390116
                    26 6405031050
                    28 61606881612
(wyliczenie to nie wydaje się, uzyskując I (n) lub m (n) dla n nieparzystym.
Ponadto Stroiki znaleźć, przez sprytnego argumentu, górną granicę na wykładniczy wzrost M (n): udowodnił

M (2n) <(2 + sqrt (3)) ^ (2n)
co pokazuje, w szczególności (porównując ją do formuły asymptotycznej Cat (n) ^ 2), że odsetek par n-wzór, który daje labirynty maleje wykładniczo z n, dla dużych n.

 

Comments are closed.